Monte Carlo: juegos de cartas, armas nucleares y el número π

MC_pi_secret La semana pasada tuve la oportunidad de descansar, darme tiempo para leer y recorrer impresionantes paisajes a lo largo de la Riviera Francesa. Un día con amigos visitamos el Principado de Mónaco, donde los lujosos autos deportivos en las calles y enormes yates capturan la vista. Sin embargo lo que más me interesaba ver era el famoso casino de Monte Carlo, el que tiene un valor simbólico para todo físico que ha tenido que hacer simulaciones computacionales.

Después de crear la bomba atómica y luego del fin de la Segunda Guerra Mundial, los científicos que permanecieron en el Laboratorio de Los Alamos se dedicaron a diseñar nuevas armas nucleares. Uno de los principales fue el físico polaco Stanisław Ulam, conocido principalmente por desarrollar junto a Edward Teller el principio básico de la bomba de hidrógeno. En 1946 Ulam estaba enfermo en cama y aburrido pasaba las horas jugando al solitario. Aunque tratando de mantener su mente lejos del trabajo al lanzar las cartas una y otra vez en un nuevo juego Ulam se cuestionó sobre la probabilidad de ganar el juego. Ulam quería encontrar la solución sin usar combinatoria ni métodos analíticos. Dado que tenía tiempo de sobra mientras se recuperaba, Ulam razonó que podría simplemente lanzar las cartas una y otra vez, jugar el juego muchas veces con lo que podría estimar la probabilidad de la forma

$\text{probabilidad de ganar} = \dfrac{\text{juegos ganados}}{\text{n\'umero total de juegos}}$

Aunque para problemas del mundo real la opción de repetir un experimento un gran número de veces para conocer su resultado y con esto estimar soluciones es típicamente poco realista además de ineficiente, Ulam sabía que en Los Alamos computadores electrónicos recién llegados permitirían usar su idea para resolver complejos problemas en física matemática.

John von Neumann (izq.) y Stanislaw Ulam (der.) junto a Richard Feynman en Los Alamos

El gran John von Neumann inmediatamente comprendió la importancia de este método y comenzó a usarlo en los más avanzados computadores que tenían disponibles. Dadas las estrictas condiciones de secreto militar era necesario un nombre clave para este método que comenzaba a usarse para resolver complejas ecuaciones y calcular procesos en explosiones termonucleares. La relación con el juego de cartas y el uso de experimentos aleatorios motivaron a usar el nombre del famoso casino en Mónaco por lo que se conoce hasta nuestros días como método Monte Carlo.

Casino de Monte Carlo en Mónaco

Es importante mencionar que aunque Ulam, von Neumann y otros, como Nicholas Metropolis, desarrollaron la versión moderna de este método, ideas similares habían sido usadas por Enrico Fermi una década antes. Además la solución de sistemas mediante el uso de muestros aleatorios había sido usada incluso siglos antes.

Estimación del número π con el método Monte Carlo

Mi primer encuentro con el método Monte Carlo fue en mi primer año de pregrado en el curso de programación donde lo usamos para calcular el número π. La idea es muy simple: así como Ulam determinó la probabilidad de ganar el juego del solitario como la razón entre el número de juegos ganados y el número total de juegos, el método Monte Carlo nos dice que si aleatoriamente dibujamos puntos en un cuadrado con un cuarto de círculo inscrito entonces la razón entre sus áreas es igual a la razón de puntos dentro de cada polígono:

MC_pi

Si el cuarto de círculo está inscrito en el cuadrado, entonces el lado del cuadrado es igual al radio del círculo y la razón entre las áreas es:

$\dfrac{\text{(\'area c\'irculo)/4}}{\text{\'area cuadrado}} = \dfrac{\pi r^2/4}{r^2} = \dfrac{\pi}{4}$

Combinando estas dos ecuaciones es posible escribir el valor de π como

$\pi = 4\times\,\dfrac{\text{n\'umero de puntos en el cuarto de c\'irculo}}{\text{n\'umero total de puntos en el cuadrado}}$

con lo que ¡el valor de π puede ser estimado simplemente contando puntos que han sido dibujados aleatoriamente en un cuadrado! Voilà!

La semana pasada finalmante conocí el frontis del famoso casino, nunca tuve la intención de entrar a jugar ya que por saber algo de probabilidades estoy exento del pago de ese impuesto llamado juegos de azar (además dudo que me dejaran entrar). El día siguiente lo pasé en cama, enfermo; ante la imposibilidad de disfrutar el sol y la playa tuve mi propia entretención honrando a Ulam: escribí un simple programa para estimar el número π generando números pseudo-aleatorios, lo que en Python es un par de líneas (la mayoría de las líneas de código son detalles para producir los gráficos mostrados más abajo)

MC_pi_code

Ahora se puede jugar con el número de puntos a usar y el código entregará el valor de π junto al gráfico de los puntos. Por ejemplo, con 50 puntos sólo 36 caen dentro del cuarto de círculo, con lo que se obtiene π = 4*36/50 = 2.88, lo que es bastante alejado del valor real. Aumentando el número de puntos, después de todo la idea del método Monte Carlo es simular muchos experimentos, el valor de π comienza variar acercándose al valor real:

MC_pi_plots

Con 10 000 puntos las dos zonas (dentro y fuera del cuarto de círculo) son claramente distinguidas y el valor obtenido es π = 3.1452, bastante más cercano al valor 3.1415.

Este es un clásico ejercicio para jugar con números aleatorios, sin embargo el método Monte Carlo tiene aplicaciones en variadas disciplinas incluyendo física matemática, negocios y finanzas, climatología, biología computacional, ingeniería y hasta en planes de rescate en el mar. El método Monte Carlo es considerado una poderosa herramienta para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y es fundamental en estadística Bayesiana.