Choque de copas en un brindis y la suma de Gauss

prost.jpgEl otro día en un largo viaje en tren me senté como siempre en el comedor: no requiere reserva de asiento, es donde típicamente hay menos ruido, más espacio y luz natural y además se puede comer/beber algo. Luego de unos tranquilos 45 minutos de viaje, el tren se detuvo en Frankfurt donde subió un equipo de algún tipo, eran siete señores todos vistiendo la misma camiseta con un logo que no pude distinguir. Apenas el tren se puso en marcha mis compañeros de viaje en la mesa del lado ordenaron una ronda de cervezas. Mientras admiraba el paisaje su orden llegó a la mesa, se alegraron bastante por su “desayuno” (eran las 7 am) e inmediatamente iniciaron el clásico “prost!” (“¡salud!” en alemán) mientras chocaban sus jarras de cerveza unas con otras. ¡Clink!, ¡clink!, y luego más y más ¡clinks! Luego de más de 10 choques de jarras no pude dejar de pensar “¿tantos choques entre las jarras? ¡Son sólo siete personas!” El siguiente pensamiento fue: “¿Cuántos choques de jarras pueden ocurrir entre un número arbitrario (k) de personas?” ¿Y qué mejor que comenzar el día en la comodidad del tren y varias horas de viaje por delante con bellos paisajes y resolviendo un pequeño problema matemático?

gaussGauss y la suma de números enteros

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) es reconocido como uno de los más grandes matemáticos de la historia. Durante su vida hizo contribuciones fundamentales a la física, matemáticas, astronomía y estadística. Una de las leyendas más populares es de cuando Gauss era sólo un niño en la escuela primaria. Ante la necesidad de mantener a los pupilos tranquilos, su profesor les ordenó calcular la suma de los números enteros hasta 100. El professor pensó que eso los mantendría ocupados por un buen rato. Sin embargo el pequeño Carl se levantó rápidamente para reportar correctamente el resultado: 5050. ¿Cómo era possible que Carl pudiese sumar números tan rápido? La respuesta fue más genial que la esperada: mientras todos sus compañeros comenzaron a sumar de manera creciente (1+2=3, 3+4=7, 7+5=12, etc.) Gauss notó un patrón repetitivo al sumar el primer número con el último de la suma: 1+100=101, luego el segundo con el penúltimo: 2+99=101, el tercero con el antepenúltimo: 3+98=101, etc.gauss_sumDado que estaba sumando un número de cada lado (del principio y el final de la suma) tendría que realizar un total 50 sumas pero todas con el mismo resultado (101), por lo que Carl simplemente calculó el producto (50)(101)=5050, obteniendo el resultado correcto en un par de segundos. Lo interesante es que el truco de sumar los extremos de los elementos de esta suma puede generalizarse para la suma de cualquier entero. Una forma simple de demostrarlo es simplemente escribiendo la suma S_n de los n enteros dos veces, una vez en orden creciente y la segunda vez en orden decreciente y luego sumarlas, con lo que se obtiene lo siguiente:
gauss_sum_nEsta expresión es a veces llamada la suma de Gauss. Si usamos n=100 recuperamos el ejemplo calculado por el pequeño Carl:
gauss_sum_100
¿Cuántos choques de vasos se pueden realizar entre un grupo de personas?

Volviendo al ejercicio de calcular el número de choques C_k de vasos entre un número k de personas, primero hay que notar C_1=0, es decir, cuando sólo hay una persona no hay con quién brindar. Cuando hay dos personas, C_2=1; cuando hay tres personas se cumple C_3=3, sin embargo cuando cuatro personas hay C_4=6, es decir, entre 4 personas se escucharán 6 ¡clinks! entre sus vasos. Una forma de generalizar la relación entre el número k de personas y el número de choques de vasos C_k es notando que cada persona k puede brindar con un total de k-1 personas ya que no puede brindar consigo mismo, lo que da un total de k(k-1). Sin embargo esta suma considera dos veces a cada persona (es decir A con y B con A) por lo que debemos dividir por 2 para evitar contar dos veces, con lo que se obtiene
choques_kUna manera más formal de obtener este resultado es notando que cuando hay 3 personas el número de choques de vasos es 2+1; cuando hay 4 es 3+2+1, cuando hay 5 es 4+3+2+1, y así cuando hay k personas será (k-1)+(k-2)+(k-3)+…+2+1, lo que corresponde a una suma de Gauss con n=k-1, por lo que usando la fórmula derivada antes (en amarillo) se obtiene:

choques_k2que es equivalente a la fórmula anterior (en verde). Por lo que ahora entiendo por qué los señores brindando en la mesa del lado en el tren no terminaban de hacer chocar sus jarras de cerveza: con 7 personas el número de choques es C_7=\frac{1}{2}(7)(7-1)=(7)(3)=21. Curiosamente, la semana pasada mi jefe invitó a su equipo a cenar y durante el brindis a tono de broma me dijo “¿Puedes calcular cuántos golpes de vasos se escucharán?” A lo que rápidamente pude responder: “somos 5 personas, C_5=\frac{1}{2}(5)(5-1)=(5)(2)=10, la respuesta es 10″. ¡Salud!

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Acerca de Jorge Diaz

Jorge es físico teórico. Obtuvo su Ph.D. en Física de Partículas en Indiana University, EEUU y luego trabajó como investigador postdoctoral en el Karlsruher Institut für Technologie, Alemania. Aunque su especialidad son los neutrinos y la física nuclear, ahora se dedica a Machine Learning en una industria de software. En Twitter: @jsdiaz_
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2 respuestas a Choque de copas en un brindis y la suma de Gauss

  1. wnasich dijo:

    Se lo puede calcular también utilizando nros combinatorios o coeficientes binomial -> https://es.m.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial

    • Jorge Diaz dijo:

      cierto, usando simple combinatoria el problema puede resolverse fácilmente, sin embargo no quise recargar el artículo con conceptos nuevos y mantenerlo lo más simple posible.

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